ML. Pinball Loss

 

주로 Quantile Prediction을 위해 사용되는 Loss로 Quantile Loss라고도 불린다. 계산식은 다음과 같다.$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}& =(Y_t-Q_t(u))\cdot u\cdot \mathbb{1}\{Q_t(u)\le Y_t\}+(Q_t(u)-Y_t)\cdot (1-u)\cdot \mathbb{1}\{Q_t(u)>Y_t\}\\ \\ & =\{\begin{array}{ll}(Y_t-Q_t(u))\cdot u& if\$Q_t(u)\le Y_t\$,\\ \\ (Q_t(u)-Y_t)\cdot (1-u)& otherwise.\end{array}\end{array}$$

이 때 

• $Y_t$는 t 시점의 실제값
• $Q_t(u)$는 t 시점에서의 u 분위수에 대한 예측값
• $\mathbb{1}$은 Indicator function이다.

수식만으로는 Pinball Loss를 이용했을 때 모델이 어떤 방향으로 학습될지, 어떤 예측 결과가 나와야 Pinball Loss가 낮아지는지 알아보기 어려우니 분위수에 따른 Loss 값의 그래프를 확인해본다.

분위수에 따른 Loss 변화

1. 중위수

중위수를 예측할 때의 Pinball Loss

위 그래프에서 확인할 수 있듯이 50% 분위수의 예측값이 실제값과 동일하도록 학습이 진행될 것이다.

2. 50% 미만

50% 미만 분위수에 대한 Pinball Loss

• 예측값이 실제값보다 높을 때 Loss가 크다.
• 분위수가 작아질수록 예측값이 실제값보다
  • 큰 경우의 Loss가 커지지만,
  • 작은 경우의 Loss는 작아진다.

즉, Pinball Loss를 이용하여 모델을 학습하게 되면 

• 50% 미만 분위수에 대한 예측값이 실제값보다 낮도록 학습이 되는 동시에
• 분위수가 낮아질수록 더 낮은 예측값을 얻게 될 가능성이 커도록 학습이 이루어질 것이다.

3. 50% 초과

50% 초과 분위수에 대한 Pinball Loss

50% 미만일 때와 정반대로

• 예측값이 실제값보다 낮을 때 Loss가 크다.
• 분위수가 커질수록 예측값이 실제값보다
  • 작은 경우의 Loss가 커지지만,
  • 큰 경우의 Loss는 작아진다.

즉, Pinball Loss를 이용하여 모델을 학습하게 되면 

• 50% 초과 분위수에 대한 예측값이 실제값보다 높도록 학습이 되는 동시에
• 분위수가 높아질수록 더 높은 예측값을 얻게 될 가능성이 커도록 학습이 이루어질 것이다.

정리

Quantile 별 예측값은 단일 값을 이용하기보다는 예측 범위를 만들 때 사용된다는 점을 고려하면 

1. 50% 미만 분위수의 예측값과 50% 초과 분위수 예측값 사이에 실제값이 존재하기를 바랄 것이므로 50% 미만 분위수에 대해서는 예측값이 실제값보다 클 때 큰 Loss가 부여되고, 50% 초과 분위수에 대해서는 예측값이 실제값보다 작을 때 큰 Loss가 부여되는 점, 그리고 분위수가 작아질수록(높아질수록) 더 낮은(높은) 예측값이 나올 수 있도록 해주는 점을 이해할 수 있다.
2. 또한, 1번 조건이 만족될 경우 최대한 예측 범위를 줄이는 것이 도움이 된다는 점에서 모든 분위수에 대하여 예측값이 실제값을 벗어나는 경우 일정 부분의 Loss가 부여되는 점을 이해할 수 있다.
   
   

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